A pista matemática do século 19 que levou à mecânica quântica

No entanto, a reputação de Hamilton durante sua vida foi construída com base no trabalho que ele concluiu muito antes. Na década de 1820 e no início da década de 1830, ainda na casa dos vinte anos, ele criou novos e poderosos métodos matemáticos para analisar os caminhos dos raios de luz (ou “óptica geométrica”) e o movimento de objetos físicos (“mecânica”).

Uma característica particularmente interessante do trabalho de Hamilton foi a maneira como ele conectou esses dois assuntos. Ele desenvolveu sua teoria da mecânica comparando a trajetória de um raio de luz com a trajetória seguida por uma partícula em movimento. Esta comparação fazia sentido se a luz fosse feita de partículas minúsculas, como acreditava Isaac Newton. Mas se a luz se comportasse como uma onda, a relação parecia muito mais misteriosa. Por que a matemática que descreve as ondas se assemelharia às equações usadas para as partículas?

O significado da ideia de Hamilton só se tornaria claro cerca de um século depois. Quando os fundadores da mecânica quântica começaram a explorar o estranho comportamento da matéria e da luz, perceberam que a estrutura de Hamilton era mais do que uma simples analogia. Sugeriu uma verdade mais profunda sobre como o mundo físico funciona.

O longo debate sobre a natureza da luz

Para ver por que a ideia de Hamilton era importante, é útil olhar mais para trás na história da física. Em 1687, Isaac Newton publicou as leis fundamentais que regem o movimento dos objetos. Ao longo do século e meio seguinte, cientistas como Leonard Euler, Joseph-Louis Lagrange e, eventualmente, Hamilton expandiram o trabalho de Newton, desenvolvendo descrições matemáticas mais flexíveis do movimento.

A abordagem de Hamilton ficou conhecida como “mecânica hamiltoniana” e provou ser extremamente poderosa. Na verdade, os cientistas confiaram nele durante décadas sem questionar seriamente como Hamilton o derivou originalmente. Só em 1925, quase 100 anos depois, é que os investigadores começaram a examinar mais de perto as suas origens.

O raciocínio de Hamilton envolveu a comparação do movimento das partículas com os caminhos percorridos pelos raios de luz. Curiosamente, este método matemático funcionou independentemente do que realmente era a luz. No início de 1800, muitos cientistas acreditavam que a luz se comportava como uma onda. Em 1801, o físico britânico Thomas Young demonstrou isso com seu famoso experimento de fenda dupla. Quando a luz passava por duas aberturas estreitas, o padrão resultante lembrava as ondulações sobrepostas produzidas quando duas pedras caíam na água, criando um padrão de “interferência”.

Várias décadas depois, James Clerk Maxwell mostrou que a luz poderia ser entendida como uma onda viajando através de um campo eletromagnético.

No entanto, a história tomou um rumo surpreendente em 1905. Albert Einstein demonstrou que certos fenómenos que envolvem a luz só poderiam ser explicados se a luz por vezes se comportasse como partículas individuais chamadas “fótons” (como foram mais tarde apelidadas). Seu trabalho baseou-se em uma proposta anterior de Max Planck em 1900 de que os átomos emitem e absorvem energia em pacotes discretos, em vez de quantidades contínuas.

Energia, frequência e massa

Em seu artigo de 1905 explicando o efeito fotoelétrico, onde a luz elimina elétrons de certos metais, Einstein usou a fórmula de Planck para esses pacotes de energia (ou quanta): E = hν. Nesta expressão, E representa energia, n (a letra grega nu) representa a frequência da luz, e h é uma constante conhecida como constante de Planck.

Nesse mesmo ano, Einstein introduziu outra equação importante que descreve a energia da matéria: uma forma da famosa relação E = MC². Aqui, E novamente representa energia, eu é a massa da partícula, e c é a velocidade da luz.

Essas duas fórmulas levantaram uma possibilidade intrigante. Uma equação ligava a energia à frequência, uma propriedade associada às ondas. O outro conectou energia à massa, o que caracteriza as partículas.

Poderia isso significar que a matéria e a luz estavam fundamentalmente relacionadas?

O Nascimento da Mecânica Quântica

Em 1924, o físico francês Louis de Broglie propôs uma ideia ousada. Se a luz pudesse se comportar tanto como onda quanto como partícula, talvez a matéria pudesse fazer o mesmo. De acordo com de Broglie, partículas como os elétrons também podem ter propriedades ondulatórias.

Experimentos logo confirmaram essa previsão. Os elétrons e outras partículas quânticas não se comportavam como objetos comuns. Em vez disso, seguiram regras desconhecidas que não podiam ser explicadas pela física clássica.

Os físicos precisavam, portanto, de uma nova estrutura teórica para descrever este estranho mundo microscópico. Essa estrutura ficou conhecida como “mecânica quântica”.

Equação de onda de Schrödinger

O ano de 1925 trouxe dois grandes avanços. Uma delas foi a “mecânica matricial”, desenvolvida por Werner Heisenberg e posteriormente expandida por Max Born, Paul Dirac e outros.

Logo depois, Erwin Schrödinger introduziu uma abordagem diferente conhecida como “mecânica ondulatória”. Seu trabalho retornou diretamente às ideias anteriores de Hamilton.

Schrödinger notou a profunda semelhança que Hamilton traçou entre a óptica e a mecânica. Ao combinar as equações de Hamilton para o movimento das partículas com a proposta de De Broglie de que a matéria tem propriedades ondulatórias, Schrödinger derivou uma nova descrição matemática das partículas. Esta se tornou a famosa “equação de onda”.

Uma equação de onda padrão descreve como uma “função de onda” muda ao longo do tempo e no espaço. Para ondas sonoras, por exemplo, a equação representa como o ar se move em resposta a variações de pressão em diferentes locais e momentos.

A função de onda de Schrödinger era mais misteriosa. Os físicos não tinham certeza do que exatamente estava oscilando. Ainda hoje, os cientistas debatem se representa uma onda física real ou simplesmente uma ferramenta matemática.

Dualidade Onda-Partícula e Tecnologia Moderna

Apesar da incerteza sobre a sua interpretação, a dualidade onda-partícula está no cerne da mecânica quântica. Esta teoria sustenta grande parte da tecnologia atual, incluindo chips de computador, lasers, comunicação por fibra óptica, painéis solares, scanners de ressonância magnética, microscópios eletrônicos e relógios atômicos usados ​​em sistemas GPS.

A equação de Schrödinger permite aos cientistas calcular a probabilidade de detectar uma partícula, como um elétron em um átomo, em um determinado local e tempo.

Esta natureza probabilística é uma das características mais incomuns do mundo quântico. Ao contrário da física clássica, que prevê trajetórias precisas para objetos do quotidiano, como bolas de críquete ou satélites de comunicações, a teoria quântica só pode prever a probabilidade de onde uma partícula pode ser observada.

A equação de onda de Schrödinger também permitiu analisar corretamente o átomo de hidrogênio, que contém apenas um elétron. A teoria explicava por que os elétrons dentro dos átomos ocupam apenas certos níveis de energia permitidos, um fenômeno conhecido como quantização.

Trabalhos posteriores mostraram que a formulação baseada em ondas de Schrödinger e a abordagem baseada em matrizes de Heisenberg eram matematicamente equivalentes em quase todas as situações. Ambas as estruturas basearam-se fortemente nas ideias anteriores de Hamilton, e o próprio Heisenberg usou a mecânica hamiltoniana como guia.

Hoje, muitas equações quânticas ainda são escritas em termos de energia total, referida como “Hamiltoniana”, derivada da expressão de Hamilton que descreve a energia de um sistema mecânico.

Hamilton originalmente esperava que os métodos matemáticos que desenvolveu a partir do estudo dos raios de luz fossem amplamente úteis. O que ele provavelmente nunca imaginou foi com que precisão essa analogia anteciparia o comportamento estranho e fascinante do mundo quântico.